Polynomdivision
Das Polynom
Unter einem Polynom versteht man einen vielgliedrigen Ausdruck / algebraische Summe folgender Form:
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn mit: a0, a1, a2, ..., an: reelle Koeffizienten |
Die Polynomfunktion ist eine Funktion, welche aus einer algebraischen Summe zusammengesetzt werden kann:
y = f(x) := a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn
Man spricht in diesem Falle auch von einer ganzen rationalen Funktion. Die Zahl n heißt Grad des Polynoms, die Faktoren an sind dabei Vorzahlen (sogenannte Koeffizienten), a0 ist das Absolutglied der Funktion. D.h. dort gilt f(0) = a0, graphisch also stellt das absolute Glied einer Funktion den Schnittpunkt mit der Ordinate (Was war das denn nochmal?) dar.
Hat eine Polynomfunktion im Nenner ebenfalls ein Polynom, dann liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, die genau in dem Punkt nicht definiert ist, in dem der Nenner 0 wird (sogenannte Polstelle).
Weitere Begriffe:
- Ist an = 1 und alle anderen a = 0, so liegt eine Potenzfuktion n-ten Grades der Form y = f(x) = xn vor.
- Ist n = 1, dann liegt eine linare Funktion vor.
- Ist n = 0, dann ist es eine konstante Funktion.
- Fr den Fall alle an = 0 spricht man von einem Nullpolynom.
Polynomdivision
Beispiel:
42x3 + 46x2 - 18x - 20 |
7x2 + 3x - 5 |
kann vereinfacht werden, indem man die Polynomdivision verwendet:
(42x + 46x - 18x - 20) : (7x + 3x - 5) = 6x + 4
-(42x + 18x - 30x)
___________________
28x + 12x - 20
-(28x + 12x - 20)
_________________
Rest 0
Erklärung:
- Man untersucht, wie oft 7x2 in die 42x3 hineinpasst: genau 6x - mal. 6x stellt also den ersten Mulitplikator dar.
- Jetzt kann man 7x2 + 3x - 5 mit 6x multiplizieren, und schreibt das Ergebnis unterhalb des Polynoms, subtrahiert den entstandenen Term und fährt fort:
- Wie oft passt 7x2 in 28x2?
- Das Ergebnis 4 wird mit dem Divisor multipliziert.
- Als Rest bleibt 0 übrig.
Man kann das Ergebnis auch wie folgt interpretieren: (43x
3 + 46x
2 - 18x - 20) = (7x
2 + 3x - 5) (6x + 4). Man ist also in der Lage Polynomfunktionen, von denen man eine Nullstelle kennt, sie durch Polynomfuntkion als Produkt ihrer Linearfaktoren zu schreiben.
Hat also ein Polynom n-ten Grades die Nullstelle x1, dann gilt Pn(x1) = 0 [sprich: "Das Polynom P an der Stelle x1 ist 0"], dann gibt es ein Polynom (n-1)-ten Grades Pn - 1(x) mit Pn(x) = (x - x1) Pn - 1(x).