Polynomdivision

---

Das Polynom

Unter einem Polynom versteht man einen vielgliedrigen Ausdruck / algebraische Summe folgender Form:

a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn mit: a0, a1, a2, ..., an: reelle Koeffizienten

Die Polynomfunktion ist eine Funktion, welche aus einer algebraischen Summe zusammengesetzt werden kann:

y = f(x) := a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... + a_nxⁿ

Man spricht in diesem Falle auch von einer ganzen rationalen Funktion. Die Zahl n heißt Grad des Polynoms, die Faktoren a_n sind dabei Vorzahlen (sogenannte Koeffizienten), a₀ ist das Absolutglied der Funktion. D.h. dort gilt f(0) = a₀, graphisch also stellt das absolute Glied einer Funktion den Schnittpunkt mit der Ordinate (Was war das denn nochmal?) dar.

Hat eine Polynomfunktion im Nenner ebenfalls ein Polynom, dann liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, die genau in dem Punkt nicht definiert ist, in dem der Nenner 0 wird (sogenannte Polstelle).

Weitere Begriffe:

1. Ist a_n = 1 und alle anderen a = 0, so liegt eine Potenzfuktion n-ten Grades der Form y = f(x) = xⁿ vor.
2. Ist n = 1, dann liegt eine linare Funktion vor.
3. Ist n = 0, dann ist es eine konstante Funktion.
4. Fr den Fall alle a_n = 0 spricht man von einem Nullpolynom.

Polynomdivision

Beispiel:

42x3 + 46x2 - 18x - 20

7x2 + 3x - 5

kann vereinfacht werden, indem man die Polynomdivision verwendet:

             (42x + 46x - 18x - 20) : (7x + 3x - 5) = 6x + 4
            -(42x + 18x - 30x)
             ___________________
                     28x + 12x - 20
                   -(28x + 12x - 20) 
                    _________________

                         Rest 0

Erklärung:

• Man untersucht, wie oft 7x² in die 42x³ hineinpasst: genau 6x - mal. 6x stellt also den ersten Mulitplikator dar.
• Jetzt kann man 7x² + 3x - 5 mit 6x multiplizieren, und schreibt das Ergebnis unterhalb des Polynoms, subtrahiert den entstandenen Term und fährt fort:
• Wie oft passt 7x² in 28x²?
• Das Ergebnis 4 wird mit dem Divisor multipliziert.
• Als Rest bleibt 0 übrig.

Man kann das Ergebnis auch wie folgt interpretieren: (43x³ + 46x² - 18x - 20) = (7x² + 3x - 5) (6x + 4). Man ist also in der Lage Polynomfunktionen, von denen man eine Nullstelle kennt, sie durch Polynomfuntkion als Produkt ihrer Linearfaktoren zu schreiben.

Hat also ein Polynom n-ten Grades die Nullstelle x₁, dann gilt P_n(x₁) = 0 [sprich: "Das Polynom P an der Stelle x₁ ist 0"], dann gibt es ein Polynom (n-1)-ten Grades P_{n - 1}(x) mit P_n(x) = (x - x₁) P_{n - 1}(x).